1.6. Асимптотические формулы

Применение формулы Бернулли при больших значениях приводит к произведению очень больших и очень малых чисел ( и ), что плохо с вычислительной точки зрения, поэтому приходится пользоваться приближёнными, асимптотическими формулами.

Формула Пуассона

Рассмотрим ситуацию, в которой число испытаний в схеме Бернулли неограниченно увеличивается, а вероятность наступления события в каждом испытании стремится к нулю таким образом, что произведение остаётся величиной постоянной, которую обозначим . В этом случае имеет место соотношение:

(1.19)

Доказательство. По формуле Бернулли

Воспользуемся тем, что по условию или и Формула Бернулли принимает вид:

Так как и фиксированы, а стремится к бесконечности, то множители ; … ; и стремятся к единице, а множитель стремится к , то

Полученное выражение называется Пуассоновским приближением формулы Бернулли. Эта формула даёт хорошее приближение при достаточно большом и малом (например, и ).

Вероятность события, заключающегося в том, что появится не более раз, очевидно, вычисляется по формуле

(1.20)

При проведении расчётов можно пользоваться тем, что обе формулы табулированы (Таблицы 1 и 2).

Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

При достаточно большом n и не слишком малых p и q формула Пуассона уже даёт значительную погрешность и применяется другое приближение – формула Муавра - Лапласа, которую можно получить из формулы Бернулли, совершая предельный переход и применяя формулу Стирлинга для вычисления

где и (1.21)

Эта формула также табулирована (Таблица 3), причём в силу чётности функции , таблица её значений составлена только для

Если при сохранении условий предыдущего пункта нас интересует вероятность того, что при испытаниях событие появляется не менее и не более раз, то формула (1.18) с учётом предельного перехода превращается в интегральную формулу Муавра-Лапласа:

где

и сумма превращается в интеграл. Функция – интеграл от – называется функцией Лапласа и представляет собой не выражающийся через элементарные функции интеграл. Поскольку функция Лапласа нечётная () и быстро приближается к своему асимптотическому значению 0.5, то таблица её значений (Таблица 4) составлена для . Для больших значений аргумента с большой точностью можно принять .

Пример 16.

При установившемся технологическом процессе ЖБК выпускает 80% всех изделий первым сортом. Найти вероятность, что : из 100 поставленных первосортных будет ровно 75, не менее 75.

Решение. Поскольку n = 100 велико, p = 0,8 и q = 0,2 не малы, применяем локальную и затем интегральную формулы Муавра-Лапласа

Пример 17.

Известно, что при транспортировке и разгрузке керамической отделочной плитки повреждается 2.5% товара. Найти вероятность того, что в партии из200 плиток повреждёнными окажутся ровно 4; не более 6.

Решение. Поскольку вероятность повреждения плитки мала, велико и , можно воспользоваться формулами Пуассона (1.19); (1.20), применяя таблицы 1 и 2:

Пример 18.

Известно, что 30% призывников имеют 27 размер обуви. Сколько пар обуви надо иметь на складе воинской части, чтобы с вероятностью Р_о = 0,9 были обеспечены все такие призывники, если в часть прибыло 200 новобранцев ?

Решение. Очевидно, имеет место схема Бернулли : подбор пары обуви каждому призывнику - одно из 200 испытаний, причём вероятность того, что ему потребуется обувь 27 размера равна (). Пусто на складе имеется , где пока не известно. Требуется подобрать такое , чтобы . Поскольку велико, а и не малы, применяем интегральную формул Муавра-Лапласа

Отсюда

То есть на складе достаточно иметь 69 пар обуви такого размера, чтобы с вероятностью 0,9 обеспечить спрос.

Пример 19.

Вероятность того, что зашедший в ресторан посетитель сделает заказ равна 0.8. Определить вероятность того, что из 100 зашедших ровно 75 сделают заказ: не менее 75.

Решение. Поскольку велико, и не малы, применяем локальную и затем интегральную формулы Муавра-Лапласа

Простейший стационарный (Пуассоновский) поток событий

Пусть на некоторой прямой расположены точки так, что в среднем на единицу длины приходится точек. Последнее не следует понимать так, что на любой единичный отрезок приходится ровно точек, но если взять достаточно большой по длине отрезок и разделить число точек , оказавшихся в нём, на его длину, то отношение при неограниченном увеличении будет как угодно мало отличаться от , то есть играет роль средней плотности.

Вероятность того, что одна точка окажется на отрезке длины l , зависит только от его длины и не зависит от его расположения на прямой. Точки распределяются на прямой независимо друг от друга.

Рис.1.7

Определим теперь вероятность того, что ровно точек окажется на отрезке длиной . Для этого введём в рассмотрение отрезок , целиком включающий в себя отрезок , причём, (Рис.1.7). Согласно принятым допущениям на отрезке расположено точек, причём каждая из них может оказаться в любом месте отрезка и все эти положения равно возможны. Вероятность того, что одна из этих точек окажется на отрезке , согласно справедливой в этом случае геометрической схеме, равна и не зависит от того, какая из этих точек первая, вторая и т.д.

В результате мы пришли к схеме Бернулли (производится испытаний, в каждом из которых мы следим за одной точкой, и любая из них с вероятностью может оказаться на отрезке ). Поэтому вероятность того, что ровно точек из окажется на отрезке , определяется по формуле Бернулли где ; . При неограниченном увеличении , длина отрезка стремится к бесконечности, а к нулю, но при этом величина остаётся постоянной. Следовательно, можно применять формулу Пуассона, которая в данном случае является точной, а не асимптотической:

(1.22)

Если нас интересует вероятность того, что на отрезке окажется не менее точек, то применяется формула

(1.23)

Разумеется, вместо отрезка на прямой можно рассматривать плоскость и некоторую её область, трёхмерный случай или вообще случай любого числа измерений, а также временной отрезок. В каждом из этих случаев – среднее число элементов, приходящихся на рассматриваемую область.

Напомним, что формулы (1.22) и (1.23) табулированы (таблицы 1 и 2).

Пример 20.

На факультете учатся 500 студентов. Найти вероятность того, что первое сентября является днём рождения: трёх студентов, не менее трёх.

Решение. Пусть событие А - случайно выбранный студент родился первого сентября, тогда . В результате пришли к схеме Бернулли, где число испытаний n = 500 велико, а p мало (события редкие) и при np = 1,37 < 10, поэтому применяем формулы Пуассона

Здесь мы воспользовались таблицами 1 и 2 и во втором случае для этого перешли к противоположному событию.

Пример 21.

Известно, что в среднем за месяц (30 суток) в районной сети водоснабжения возникает 90 ситуаций, требующих оперативного вмешательства аварийной службы. На сколько вызовов в сутки должна быть рассчитана эта служба, чтобы с вероятностью она могла удовлетворить все поступающие за эти сутки заявки?

Решение. Предположим, что аварийная служба рассчитана на заявок в сутки, где пока не известно. Пусть m - число поступивших за сутки. Тогда найдём из условия . Поскольку поток заявок представляет собой простейший, стационарный (Пуассоновский) поток событий, то можно применить формулу Пуассона , где среднее число заявок за сутки. Для определения воспользуемся таблицей 2 при , подбирая таким образом, чтобы искомая вероятность была не меньше, чем . В результате получим , то есть аварийная служба должна быть рассчитана на 5 заявок в сутки.