1.2. Алгебра событий

Пусть - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Для каждого возможного в этом опыте события выбелим совокупность всех Элементарных событий, наступление которых необходимо влечёт наступление . Будем говорить, что эти элементарные события благоприятствуют появлению . Множество этих элементарных событий обозначим тем же символом , что и соответствующее событие.

Таким образом, событие состоит в том, что произошло одно из элементарных событий, входящих в указанное множество . Другими словами, мы отождествляем событие и соответствующее ему множество элементарных событий.

Введём теперь ряд понятий и определений.

Событие называется достоверным (), если оно наступает в результате появления любого элементарного события.

Но тогда ему благоприятствует любое и в силу заключённого договора будем обозначать достоверное событие иии

и в силу заключённого договора будем обозначать достоверное событие тем же символом .

Событие называется невозможным , если оно не наступает ни при каком элементарном событии.

Но тогда ему соответствует пустое множество и, поэтому, невозможное событие будем обозначать символом .

Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие А + В или , происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А , или В.

Сумме событий и соответствует объединение множеств и .

Отметим очевидные соотношения:

Произведением (пересечением) двух событий А и В называется событие АВ или , происходящее тогда и только тогда, когда происходит и А , и В.

Произведению событий и соответствует пересечение множеств и . Отметим очевидные соотношения:

Два события называются несовместными, если их одновременное появление в опыте не возможно. В этом случае .

Событие называется противоположным к А , если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит А .

Справедливы следующие свойства:

Разностью событий и назовём событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходит , но не происходит .

Отметим очевидные соотношения:

Поскольку разность событий можно выразить с помощью операций отрицания и произведения, пользоваться разностью событий в дальнейшем не будем.

Таким образом, операциям над событиями соответствуют аналогичные операции над множествами.

Введённые выше операции сложения и умножения обладают следующими свойствами:

Пример 2.

Производятся два выстрела по цели. Пусть событие - попадание в цель при первом выстреле, - при втором, тогда и промах соответственно при первом и втором выстрелах. Пусть событие - поражение цели, при условии, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Выразить через и .

Решение. Цель будет поражена в следующих случаях : попадание при первом и промах при втором, промах при первом и попадание при втором, попадание при первом и втором выстрелах. Интересующие нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного). Используя введённые выше операции, получим: . С другой стороны событие , противоположное , есть промах при двух выстрелах, то есть , отсюда искомое событие можно запасать в виде . Возможность различного выражения искомого события часто оказывается полезной при решении задач.

Для лучшего восприятия введенных понятий и операций полезна геометрическая интерпретация - диаграммы Венна : пространство элементарных событий изображается в виде квадрата, каждой точке которого соответствует элементарное событие. Тогда случайные события изображаются в виде некоторых фигур, лежащих в этом квадрате.

На Рис.1.1-1.4 заштрихованные фигуры представляют:

Рис.1.1	Рис.1.2	Рис.1.3	Рис.1.4

Пусть - пространство элементарных событий, соответствующих стохастическому эксперименту и пусть - некоторая система случайных событий. Система событий F - называется алгеброй событий, если выполняются условия : ; из того, что и следует, что : , и . Следовательно, применяя любые из введенных операций к произвольной системе событий из , получим событие также принадлежащее .